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高斯强调了证明的重要性，打破了传统思想的桎梏。对他而言，数学家的首要使命就是提供证明，这是至今都遵循的最基本的理念。如果不证明对数和素数间的关系，那么高斯的发现对其而言将一文不值。布伦瑞克公爵提供的资助，使他可以自由选择并专攻于某项数学研究。驱使他研究素数的不是名利，而是出于对他所热爱的学科的一种独特理解。他在印章上刻下座右铭“少而精”（Pauca sed matura）。对高斯而言，未经过充分证明的结果，也就只能记录在日记本里或者随手写在对数表背面。
如果几个世纪以来，数学家在探寻生成素数序列的神秘公式之路上都无功而返的话，那么或许是时候另辟蹊径，采取一种不同的策略了。
15 岁的高斯在 1792 年就是这么想的。在此一年前，他收到了一份生日礼物，那是一本介绍对数的书。直到几十年前，学校才大力推广对数表。随着计算器的发明，对数表在人们的日常计算中不再是不可或缺的。
但是几百年前，每个航海家、银行家和商人都会研究这些表，将复杂的乘法变成简单的加法。在高斯收到的新书背面，是一张素数表。不可思议的是，素数和对数竟出现在一起。经过复杂运算后，高斯发现，这两个看起来毫不相干的主题之间似乎有着千丝万缕的联系。
1614 年，第一张对数表问世，那是一个巫术和科学并存的时代。该对数表的创作者是一位苏格兰领主，名为约翰·纳皮尔，他被当地居民视为一个在暗处从事魔法活动的人。他一身黑袍，潜伏在城堡周围，肩上站着一只乌黑的公鸡，嘴里念念有词，从代数启示录中预测到，最后的审判将在 1688～1700 年来临。将数学技能用于玄学的同时，他也揭开了对数函数的神秘面纱。
如果在计算器上输入一个数字，比如 100，然后求对数，那么计算器就会输出另一个数字，即 100 的对数。计算器的工作就是解答以下问题：找到数字 x，使得 10x =100 成立。此处计算结果为 2。如果输入的是 1000 的线 倍，那么计算结果就是 3。对数增加了1。这就是对数的重要特性：它将乘法变成了加法。每当我们将输入数据乘以 10 时，将先前的结果加 1，就能得到新的结果。
对数学家来说，如果能意识到他们可以谈论的并非只有那些由 10的整次幂生成的数字的对数，那么就已经迈出了至关重要的一步了。例如，高斯在对数表中查找 128 的对数时发现，对于 10，取其 2.107 21 次幂，就可以得到一个约等于 128 的数值。这些计算均记载在纳皮尔于1614 年制作的对数表中。
在 17 世纪，对数表推动了商业和航海业的蓬勃发展。对数为乘法和加法搭建了一座沟通的桥梁，帮人们将复杂的大数乘法运算变成简单的对数加和运算。对于大数的乘法运算，只需要对其对数进行加和运算，然后利用对数表找到最初乘法的结果即可。利用对数表，海员减少了失事船舶的数量，而售货员扭转了交易的。
但是，那张附在对数书后面的素数表，激起了青年高斯的兴趣。和对数不同的是，素数表在实际生活中被认为无用武之地，而那些实验型数学家研究它们只是出于好奇罢了。（在 1776 年由安东尼奥·费尔克尔制作的素数表，当时被认为毫无用处，以至于在奥土战争中被用作弹药筒。）对数可以预测，
素数却比较随机。比如，似乎根本无法预测 1000之后的第一个素数是多少。
高斯迈出的重要一步就是提出了一个不同的问题。他并没有尝试去求下一个素数的精确值，而是看看能不能预测出某个数值范围内有多少个素数，比如前 100 个数字中，前 1000 个数字中，以此类推。对任意数 N，是否有办法估算出 1～N 内到底有多少素数？ 例如，1～100 的范围内有 25 个素数。如果换到 1～1000 或者 1～1 000 000 的话，那么这个比重会有怎样的变化？
高斯开始了对素数表的探索之旅。当观察素数比重时，他发现，随着计算的数字越来越多，一条规律逐渐浮现了出来。尽管素数还是那么无序，一个惊人的规律似乎就要浮出水面了。如果看看以下的表格，其中列出了 10 的不同幂次以内的素数个数，基于更先进的计算方式，那么这一规律就显而易见了。
这个表格包含了更多的信息，能将高斯发现的规律更清晰地展示出来。在最后一列，这一规律就不证自明了。这一列，就是素数占所有考虑在内的数的比重。例如，1～100 的数字中，有 1/4 是素数，所以差不多平均每往后计算 4 个数字就能找到下一个素数。而在 1～10 000 000的数字中，有 1/15 是素数。（也就是说，一个 7 位电线 的可能是素数。）对大于 10 000 的 N 来说，根据最后一列的比重，似乎幂次每增加 1 就增长 2.3 左右。
因此，高斯每次进行 10 倍递增数字时，便在素数与所有数字之比上加约 2.3。乘法和加法的关系可以用对数准确地表述出来。高斯可能在那本对数书中发现，这一关系就明明白白地摆在眼前。
高斯每次把数字乘以 10 后，素数比重每次增加 2.3 而不是 1 的原因在于，素数对除 10 之外的幂次的对数青睐有加。在计算器上求 100 的对数，结果就是 2，也就是方程 10x =100 的解。但是这也并没有要求我们必须算 10 的 x 次幂。可能是因为大部分人都有 10 根手指，所以就对10 情有独钟了吧。选择的数字 10，称作对数的底。我们可以谈谈以其他数为底的对数。
例如，以 2 为底 128 的对数，就要解另外一个方程，找到符合 2x =128 的 x。在计算器上计算以 2 为底的 128 的对数，得到的结果就是 7，因为我们需要对 2 进行 7 次相乘才能得到 128。高斯发现的素数，在对数中可以利用一个特殊的数为底，这个特殊的数就是 e，保留 12 位小数为 2.718 281 828 459...（和 π 一样，这个数字是无限不循环小数）。在数学上，e 和 π 的地位相当，在数学界无处不在。这就是为何要将以 e 为底的对数称作“自然”对数的原因。
高斯 15 岁那年看到的对数表，令他产生如下猜想：对于 1～N 的数字，大概每 log(N) 个数字后就会出现一个素数（这里 log(N) 指以 e 为底的 N 的对数）。不过，高斯并没有宣称自己发现了一个巧妙的公式，可以精确计算出 N 以内的素数个数，它只是能大致估计出素数的个数罢了。
这和他之后重新发现谷神星所应用的方法相似。基于记录数据，他提出了一种天文学方法，可以更好地预测出可供观测的小区域空间。高斯将这种方法运用在素数上。历代数学家都为如何发现能够准确预测下一个素数的公式所深深困扰着。某个数字到底是不是素数？高斯并没有执着于此，反而触碰到了某种规律。他另辟蹊径，探索一个更宽泛的问题，即 1～1 000 000 的数字内到底有多少素数，而不是纠结于哪些数字为素数。这时，一条规律似乎呼之欲出了。
高斯在寻找素数的方法上做出了重要的思想转变。这就好比前人聆听素数的乐章时是一个音符一个音符地听，这样是无法感受到整体韵律之美的。将精力集中在统计有多少个数字上，高斯就发现了一种新方法，来聆听最动人的主旋律。
在高斯之后，1～N 的素数个数用符号 π(N)（这只是一种表示形式，和 π 并无关系）来表示就成为了一种约定。有些遗憾的是，高斯使用了一个可能会让人当作圆周率 3.141 5... 的符号。我们把它当成计算器上的一个新按钮就好了。输入 N，然后按 π(N) 键，计算器就会输出 1～N 的素数个数。例如，1～100 的素数个数就是 π(100) =25，1～1000 的素数个数就是 π(1000)=168。
注意，你还可以用这个新的“统计素数”按钮，来准确检查何时会得到一个素数。如果你输入 100，然后按下按钮，统计 1～100 的素数个数，那么结果就是 25 个。如果你输入 101 的线 个数就是一个新的素数。也就是说，当 π(N) 和 π(N +1) 不同时，N+1 就是一个新的素数。
为了彻底弄清楚高斯发现的这个规律，我们可以查看 π(N) 函数的图像，其中统计了 1～N 的所有数字里包含的素数个数。以下为 π(N) 的函数图像，计算了 1～100 的素数个数 N（见下图）。
我们可以从图中看到，在较小范围内，结果呈阶梯状跳跃，很难预测什么时候会出现下一个台阶。在这一范围内，我们看到的仍旧是素数的细枝末节，也就是独立的音符。
现在回过头看原来那个函数，让 N 取更大的值，比如计算 100 000以内的素数总数（见下图）。
此时单一步骤变得无足轻重，我们要看的是这个函数的总体攀升趋势。这就是高斯听到的最动人的主旋律，并能通过对数函数模拟这一主旋律。
尽管素数是不可预测的，但是从上图来看，素数阶梯似乎是一条平滑的直线。这成为了最神秘的数学难题之一，也是素数探索史上的一个里程碑。高斯在那本对数书的背面记录了他所发现的利用对数函数计算N 以内的素数个数的公式。尽管这一发现举足轻重，他却没有告诉任何人。关于这一发现，世人听到最多的，就是他说过的高深莫测的一句话：“你不知道，一张对数表里藏有多少首诗。”
高斯为何对如此重大的发现缄口不言，这始终是个谜。事实上，他也只是初步发现了素数和对数函数的某一关系。他知道，自己无法解释或证明两者之间为何有所关联，也不清楚当统计数量变大时，这种规律是否会突然消失。高斯不愿宣布的未经证明的这一结果，标志着数学史上的一个转折点。尽管古希腊人将证明看作数学进程中一个十分重要的组成部分，但是高斯之前的数学家醉心于利用数学进行科学的猜测。如果某一猜测成立，他们也就不太热衷于通过一套严格的程序来证明其为何成立了。数学始终充当其他科学的工具。
高斯强调了证明的重要性，打破了传统思想的桎梏。对他而言，数学家的首要使命就是提供证明，这是至今都遵循的最基本的理念。如果不证明对数和素数间的关系，那么高斯的发现对其而言将一文不值。布伦瑞克公爵提供的资助，使他可以自由选择并专攻于某项数学研究。驱使他研究素数的不是名利，而是出于对他所热爱的学科的一种独特理解。他在印章上刻下座右铭“少而精”（Pauca sed matura）。对高斯而言，未经过充分证明的结果，也就只能记录在日记本里或者随手写在对数表背面。
对高斯而言，探索数学知识纯属个人行为，是一个人的征程。他甚至利用密码给自己的日记加密。其中一些密码较容易破解。例如，在 1796年 7 月 10 日，高斯写下了阿基米德的名言“我知道了”（Eureka），后面跟着一个方程：
这代表了他的发现，即每个数字都可以写成一组三角形数之和，即1、3、6、10、15、21、28，等等。高斯用这些数在课堂上写成了一个公式。例如，50=1+21+28。但是其他的密码依旧成谜。高斯于 1796年 10 月 11 日写下的“victus GEGAN”，始终无人能够破解。一些人指责说，高斯对自己的新发现守口如瓶，而他的保守令数学的发展晚了半个世纪。如果他能对自己一半的发现做出解释，且解释中不出现密码的话，那么数学可能会获得更快的发展。
另一些人则认为，高斯对自己做出的发现守口如瓶的原因在于，法国科学院曾经拒绝过那篇他写就的关于数论的鸿篇巨制《算术研究》，称其内容太过晦涩，且篇幅过长。因拒稿而深感受挫的高斯，为了使自己免于受到更多伤害，在发表任何东西前都要坚持找到数学拼图的最后一块。《算术研究》面世后并没有立即得到好评，部分原因在于，高斯将其公之于众时，依然使用密码。他一直强调，数学就像一座建筑物，而建筑师从来不会给人们留下脚手架来看建筑是如何建成的。这种观念无益于数学家理解高斯的数学。
但是，法国科学院之所以将高斯满怀期待的投稿拒之门外，也受到了其他因素的影响。对于 18 世纪末的法国，数学的存在意义就是不断满足这个日益强大的工业国家的发展需求。1789 年爆发的法国大革命，预示着拿破仑需要一个高度集中化的军工理论教学体系。因此，他创建了中央公共工程学院（现在称为巴黎综合理工大学），以进一步推动其战争计划。拿破仑宣称：“数学的发展和完善，与国家的繁荣息息相关。”法国的数学家致力于解决弹道和液压方面的问题。不过，尽管法国如此强调数学的实用性，一些被誉为欧洲顶级的纯理论数学家仍是其引以为豪的。
其中一位数学界泰斗就是来自巴黎的数学家阿德里安 - 马里·勒让德。他比高斯大 25 岁。肖像画里的勒让德，是一位大腹便便的绅士，那张脸又大又圆。和高斯不同的是，勒让德来自一个富裕家庭。但是在法国大革命时期，他的家族家道中落了。因此，他只能靠数学天赋谋生。他同样对素数和数论感兴趣。在 1798 年，也就是少年高斯发明时钟计算器的 6 年后，他宣称发现了素数和对数间的实验性关系。
尽管此后证明，高斯的发现比勒让德的略胜一筹，但是勒让德提高了 N 以内素数统计的精确度。高斯猜测，N 以内的素数个数大概为N/log(N) 。尽管这已经非常接近实际数字了，但是当 N 的值越来越大时，自然就偏离了实际结果。如下图所示，下方曲线代表少年高斯猜测的素数个数，上方曲线代表实际的素数个数。此图表明，尽管高斯取得了一定成就，但还有一些提升空间。
该公式进行了一个常量的校正，使高斯的曲线更接近实际素数个数的曲线。只要这些函数的值在可计算的范围内，π(N) 和勒让德修正后的图像是很难区分开来的。勒让德致力于研究数学在实际生活中的应用。因此，他甘冒风险来预测素数和对数间存在的某种关系。他敢于传播那些未经证明的想法，甚至包括那些存在缺陷的证明。1808 年，在《数论》一书里，他对素数个数做出了猜想。
至于谁是第一个发现素数和对数之间的函数关系的，这一事实仍存有争议。这让高斯和勒让德陷入激烈的争执。这一争议不仅仅来自素数，勒让德甚至宣称，高斯预测谷神星位置所用的方法也是自己最先发现的。一次又一次，每当勒让德声称他发现某些数学事实时，就立刻遭到高斯的反驳。后者宣称，那一战利品早已归自己所有。1806 年 7 月30 日，高斯在写给一位叫舒马赫的天文学家的信中抱怨道：“我几乎所有的理论工作，都碰巧和勒让德的同时进行，这似乎是天意啊！”
骄傲如高斯，在世时始终不愿意卷入事关优先权的正面交锋中。高斯死后，人们在整理他的文章和往来信件时，真相才大白于天下。高斯终于赢得了属于他的荣誉，尽管有些姗姗来迟。直到 1849 年，数学界才承认，高斯在素数和对数函数的问题上击败了勒让德。在那年的平安夜，高斯在写给一名叫约翰·恩克的数学家兼天文学家的信件中，提到过那些理论。
从 19 世纪早期可用的数据来看，勒让德提出的关于 N 以内素数个数统计的函数近似度更高。但是，这个难看的常数项 1.083 66 让数学家相信，一定有一个更完美、更自然的存在，来捕捉统计素数个数的行为。
如此难看的数字，其他学科可能司空见惯，但是数学家对那些最美的事物竟如此情有独钟，这着实不可思议。正如我们看到的那样，黎曼假设完美地诠释了数学界秉承的一般性原则，即在丑与美之间做出选择，自然往往钟情于后者。它不断使大多数数学家惊叹：数学世界就该如此。这也解释了为何他们会如此钟情于发现学科之美。
晚年的高斯进一步优化了自己的猜想，得到了一个更加精确、更加优雅的函数。这也就不值得大惊小怪了。在平安夜写给恩克的同一封信中，他解释了自己如何发现优于勒让德的公式。
高斯所做的就是将问题回归到自己在童年时期第一次提出的那个猜想上。他计算了差不多 100个数，其中 1/4 是素数。当总量达到 1000 时，素数的比例就下降到了1/6。高斯意识到，计算的数量越大，出现素数的比例就越低。
因此，高斯的脑海中浮现出这样一个想法：自然决定了素数的出现。这种分布是如此杂乱无章。通过抛硬币，或许不能很好地选择出素数吧？大自然会抛硬币吗？正面是素数，反面则不是。高斯想，这个硬币正反面的概率不是简单地各占 1/2，而是正面朝上的概率为 1/log(N)。
所以数字 1 000 000 是素数的概率，可以用 1/log(1 000 000) 来描述，大约是 1/15。1/log(N) 的值，是随着 N 的值变大而逐渐变小的。因此，N的值越大，一个数是素数的概率就越低。
这只是一种启发式论证，因为 1 000 000 或者任意其他数字，要么是素数，要么不是。抛硬币什么也改变不了。尽管高斯构建的心智模型在预测和判定素数上没什么用，但是他发现，这有助于预测那些不太具体的问题。
例如，随着计数越来越大时，人们能猜测出可能出现的素数个数。他用来估计抛出的 N 个硬币中素数的个数。常规硬币正面朝上的概率是 1/2，正面朝上的硬币数就是 N/2。但是素数出现的概率会逐渐降低。运用高斯构建的素数模型，预测到的素数个数为：
其实，高斯进一步生成了一个叫作对数积分的函数，用 Li(N) 表示。新的函数只不过对上述表示稍加调整，结果却惊人地准确。
当时，70 岁的高斯在写给恩克的信中提到，他已经制作出了一个3 000 000 以内的素数表。在探索素数之路上，他写道：“我常常花上 15 分钟，计算一个又一个范围为 1000 的数字。”利用对数积分进行 3 000 000以内的素数统计，其准确率仅相差 7%。勒让德也成功地修正了那个有点儿丑陋的公式，使之在 N 的值很小时也符合 π(N)。
因此，基于当时可用的数据，勒让德的公式似乎更胜一筹。随着数据量更大的表格被不断制成，通过勒让德的公式预测 10 000 000 之后的素数变得越来越不准确。来自布拉格大学的雅各布·库利克教授，用了 20 年时间，独立构建了 100 000 000 以内的素数表。
这部鸿篇巨制由 8 卷构成，于 1863 年完成，从未发表过，现存于维也纳科学院。尽管在第 2 卷上走了一些弯路，但是这些数表再次证明，高斯提出的基于 Li(N) 的方法又一次击败了勒让德的公式。现代的数表也证明，高斯提出的方法是多么遥遥领先啊！
例如，统计 1016 以内的素数个数，高斯估算出的数值准确度，仅相差千万分之一。高斯做出的理论分析，粉碎了勒让德使用公式来匹配可用数据的企图。
对于自己所提出的方法，高斯还注意到一个有意思的现象。基于已知的 3 000 000 以内的素数，他发现，利用 Li(N) 公式，似乎总是会过高估素数个数。他猜想这种情况是普适的。既然通过现有数据，证明了高斯对 1016 以内的素数个数的猜想为真，那么谁又会反驳高斯的这一猜想呢？
的确，任何实验如果得到 1016 这一相同结果，那么对大多数实验室而言，都是不容置疑的。仅此一次，高斯做出的这一直觉性猜想，最终被证明是错误的。不过，尽管当代数学家已经证明了 π(N) 终将超越Li(N)，但是没人能见证那一时刻，因为我们计算的数字远远没那么大。
从 π(N) 和 Li(N) 的图像对比可知，它们简直天生一对，以至于很难在大范围内将二者区分开来。我要强调的是，利用放大镜就能区分出二者的不同之处了。π(N) 的图像看起来像阶梯，而 Li(N) 的图像看起来更像是一条平滑的曲线，没有突出的棱角。
自然通过抛硬币选择素数，这一证据为高斯所识。硬币的重量配置，使得 N 是素数的概率为 1/log(N)。但是，他还缺少一种可准确预测投掷硬币结果的方法。这就需要新一代数学家在此基础上添砖增瓦了。
换一种视角，高斯就发现了素数的一种规律。他的猜想被称为“素数猜想”。为了宣布高斯提出的猜想为真，数学家不得不去证明，高斯的对数积分和实际素数个数之间的误差会随着统计量的增加而减小。高斯早已看到远处遥不可及的山峰，留给后人的工作是提供证据，开辟通向山峰之路，或者揭开假象的面纱。
很多人称，谷神星的出现使高斯在素数猜想上分了神。在 24 岁那年，他一夜成名后，便开始涉足天文学领域。自此，数学就不再是他生命中的唯一了。1806 年，高斯的资助人布伦瑞克公爵卡尔·威廉·斐迪南被拿破仑处死，使得他不得不另谋出路，以维持生计。
尽管圣彼得堡科学院向他抛来橄榄枝，并期待其能接替欧拉的位置，高斯还是选择担任哥廷根天文台台长一职。该天文台位于下萨克森的一个小型大学城内。他将更多的时间花在追踪夜空中的小行星，以及帮助汉诺威王朝（汉诺威王朝是德国布朗史维希王朝的分支之一，因此，又称布朗史维希王朝汉诺威分支）和丹麦王朝完成对陆地的探索上。
但是他一直在坚持思考数学问题。绘制汉诺威山地图时，他还在思考欧几里得的平行线定理；回到天文台后，他继续致力于扩展素数表。高斯听到了素数乐章里的第一个主旋律。不过，他的学生黎曼却真正感受了杂乱无章的素数乐章背后隐藏的神秘而和谐的力量。
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原标题：《高斯被拒稿后深受打击，使他不愿发表素数猜想上的重大发现，却标志着数学史上的一个转折点》
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